Elliptische Kurven

gemeinsam mit Dr. Ulrich Terstiege

Das Seminar hat zwei Teile. Der erste Teil richtet sich speziell an Studierende aus der Algebra-Vorlesung im WS 11/12, bzw. an Studierende, die anderweitig gute Kenntnisse in Linearer Algebra und Algebra erworben haben. Der zweite Teil richtet sich vornehmlich an Studierende, die etwas weitergehende Kenntnisse in Algebra und algebraischer Geometrie erworben haben und eventuell gleichzeitig die Vorlesung über algebraische Zahlentheorie von Herrn Paskunas hören. Im Anschluss an Seminarvorträge aus dem zweiten Teil können Themen für Bachelor-Arbeiten vergeben werden.

Elliptische Kurven sind gegeben durch gewisse Gleichungen der Form $y^2 = x^3 + Ax + B$ für Koeffizienten $A, B$ in einem Körper $k$. Auf der Lösungsmenge einer solchen Gleichung lässt sich eine Gruppenstruktur erklären. Dies erlaubt Anwendungen zur Faktorisierung großer Zahlen und in der Kryptographie. Der Satz von Mordell, den wir im zweiten Teil des Seminars beweisen wollen, besagt, dass die Gruppe der Lösungen über $\mathbb Q$ einer elliptischen Kurve über $k=\mathbb Q$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist. Danach studieren wir die Theorie der komplexen Multiplikation, die die explizite Beschreibung abelscher Körpererweiterungen von imaginär-quadratischen Zahlkörpern erlaubt.

Seminarprogramm: pdf

Wir richten uns im wesentlichen nach dem Buch Rational points on elliptic curves von Silverman und Tate. Für den Satz von Mordell gehen wir die entsprechenden Kapitel im Buch von Ireland und Rosen, A classical introduction to modern number theory.

Anforderungen/Vorkenntnisse: Gute Kenntnisse der Linearen Algebra und Algebra. Die Motivation, sich ein mathematisches Thema anzueignen. Ein Seminarvortrag lässt sich nicht innerhalb einer Woche vorbereiten. Schauen Sie sich das Material rechtzeitig vorher an. Im Bachelor-Studiengang bekommen Sie für dieses Seminar 6 credit points; dementsprechend sollten Sie für das Seminar mindestens 2/3 des Arbeitsaufwands für eine vierstündige Vorlesung mit Übungen und Klausur (und 9 credit points) einplanen.

Betreuung: Wir empfehlen Ihnen dringend, rechtzeitig vor Ihrem Vortrag einen Termin mit Herrn Terstiege, ulrich.terstiege@uni-due.de, zu vereinbaren, um Ihre Fragen durchzugehen. Sinnvollerweise sollte dieser Termin mindestens 10 Tage vor dem Vortragstermin stattfinden. Beginnen Sie dementsprechend frühzeitig mit der Vortragsvorbereitung!

Für das Seminar gilt Anwesenheitspflicht; es wird eine aktive Teilnahme erwartet. Für den Fall, dass Sie an einem Termin aus wichtigen Gründen verhindert sind, entschuldigen Sie sich bitte vorher bei einem der Veranstalter und bei der/dem Vortragenden. An Teilnehmer, die Termine unentschuldigt versäumen oder insgesamt mehr als zwei Termine versäumen, kann kein Seminarschein ausgegeben werden.

Seminarschein: Durch einen erfolgreichen Vortrag kann ein Seminarschein erworben werden.

Termin: dienstags 14:00-15:30, IEM.

Vorträge

17.4. Affine und projektive Kurven Ulrich Görtz
24.4. Definition elliptischer Kurven Ulrich Görtz
8.5. Das Gruppengesetz Ulrich Terstiege
15.5. Faktorisierung großer Zahlen mit elliptischen Kurven Ann-Kathrin Stegmann
22.5. Kryptographische Anwendungen von elliptischen Kurven Markus Schön
19.6. Algebraische Punkte auf kubischen Kurven Jan Wulff
26.6. Eine Galoisdarstellung Manuel Fersch
10.7. Komplexe Multiplikation I Ulrich Terstiege
17.7. Komplexe Multiplikation II Ulrich Görtz